～数学オリンピック2024予選第3問～難易度★
問題
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数オリの問題です。第3問から脱落者が少し増えてくるかもしれません。一番初めの図形問題で図も書いているので，本選に進むなら確実に正解しておきたいところです。
まずは，実際に解いてみて，できなかったら解説を読んで，理解できなかったところを重点的に復習しましょう。
解答
答え：$5+\sqrt{10}$
思考とプロセス
数オリの予選の図形は
チェバの定理・メネラウスの定理を利用する問題
と
方べきの定理の逆・円周核の定理の逆などを利用して円を見つけ，その円をもとに図形を展開していく問題
のおよそ2つに分けられると思います。今回は図形も書いていますし，円なので，方べきの定理等を活用していきましょう。
図のように，$BX=x, BD=y$とおきます。
$\triangle{ABC}$は1辺が10の正三角形だったので，$AD=10-y, CX=10-x$ということも分かります。
さらに，$AD+AE=16$という条件から，$AE=16-AD=16-(10-y)=6+y$ということがわかり，$CE=10-AE=10-(6+y)=4-y$ということも分かります。
さらに，方べきの定理から，
$BD \cdot BA=BX^2$
$CE \cdot CA=CX^2$
ということもわかるので，
$10y=x^2$
$10(4-y)=(10-x)^2$
となるので，辺々を加えることにより，
$40=2x^2-20x+100$
という2次方程式ができます。これを解くと，$x=5 \pm \sqrt{10}$となりますが，$BX>CX$より，$BX>5$でないといけないので，$BX=5+\sqrt{10}$と求めることができます。